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之前申请了一个个人网站,今天收到短信备案通过,终于不用在微信公众号里截图发东西了.
2018年北大自招有这样一道试题:
设$a,b,c$为非负实数,满足$a+b+c=3$,则$a+ab+abc$的最大值为?
本题相对简单,只要有基本的不等式思想,固定一下$a$对$b,c$使用均值即可解答
\[a+ab+abc=a+ab(1+c) \le a+a \cdot (\frac{b+1+c}{2})^2\]
\[=4+\frac{1}{4}(a-4)(a-2)^2 \le 4\]
或者得到三次函数以后求导.虽然中间的等号不总是能取到,但最后是可以取等的,$(a,b,c)=(2,1,0)$
变形
今天看到一道改编的问题,难度骤然上升,但内核是不变的
$a,b,c>0,a+b+c=3$,求$\ds f=\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}$最小值
和上题的区别是整式全部变成了分式.
仍然采用固定变量的思想,尝试在固定$a$的情况下,对$b+c=3-a$求最值
此时分离掉$a$,与$b,c$有关的部分就是$\ds \frac{1+c}{bc}$
抽象看来,这是个一次比二次的结构,所以我们将其取倒数,尝试用均值求解
设$1+c=t>1,b=4-a-t$
$$\frac{bc}{1+c}=\frac{(4-a-t)(t-1)}{t}$$
$$=5-a-(t+\frac{4-a}{t}) \le 5-a-2\sqrt{4-a}$$
$$=(\sqrt{4-a}-1)^2$$
显然$a \ge b \ge c$,否则交换$(b,c),(a,b)$会使得$f$变小,$3>a \ge 1$(这一步判断其实并非必要,对后面的求解毫无影响)
从而$$f=\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}(\frac{1+c}{bc}) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{a}\frac{1}{(\sqrt{4-a}-1)^2}$$
换元$u=\sqrt{4-a}-1 \in (0,\sqrt{3}-1]$$$ f=f(u)=\frac{u^2+1}{u^2(3-2u-u^2)}$$
如果不抗拒导数的话,下面一步最简单的就是求导.如果非要展示一些奇怪的技巧就只能待定系数自求多福.
求导得$$ f'(u)=\frac{2 \left(u^2+3\right) \left(u^2+u-1\right)}{(u-1)^2 u^3 (u+3)^2}$$
可得$\ds (0,\frac{\sqrt{5}-1}{2})$递减,$\ds (\frac{\sqrt{5}-1}{2},\sqrt{3}-1)$递增
最小值$\ds f(\frac{\sqrt{5}-1}{2})=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
取等时,套娃式一步步找到$a,b,c$即可
$\ds u=\frac{\sqrt{5}-1}{2},a=4-(u+1)^2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
$\ds t=\sqrt{4-a}=1+u=\frac{\sqrt{5}+1}{2},c=t-1=u=\frac{\sqrt{5}-1}{2},b=3-a-c=1$
最终可得取等时$\ds (a,b,c)=(\frac{5-\sqrt{5}}{2},1,\frac{\sqrt{5}-1}{2})$
