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\[ \sin nx=2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(x+\frac{k\pi}{n}) \]
令$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{n}$
\begin{gather*} \exp(2nx\mi)-1 =\prod_{k=0}^{n-1}(\exp(2x\mi)-\exp(2k\alpha \mi))\\ =\prod_{k=0}^{n-1} [\exp(x+k\alpha)\mi \cdot 2\mi \cdot \sin(x-k\alpha)] \\ =\prod_{k=0}^{n-1}\exp(nx\mi+\frac{n-1}{2}\pi\mi) \cdot (2\mi)^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x-k\alpha)\\ =2^n \cdot \exp(\frac{n\pi}{2}\mi) \cdot \exp(nx\mi) \cdot \exp(\frac{n-1}{2}\pi\mi) \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x-k\alpha)\\ =2^n \cdot \exp(nx\mi) \cdot \mi^{2n-1} \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x-k\alpha) \end{gather*}
因此可得 \begin{gather*} \exp(nx\mi)-\exp(-nx\mi) =2^n \cdot \mi^{2n-1} \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x-k\alpha) =-2^n \cdot \mi \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(k\alpha-x)\\ =-2^n \cdot \mi \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+\frac{n-k}{n}\pi) =2^n \cdot \mi \cdot \prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+\frac{k\pi}{n}) \end{gather*}
再利用$\exp(nx\mi)-\exp(-nx\mi)-2\mi \sin nx$即得证.
如果只是需要绝对值的话,对$\exp(2nx\mi)-1=\prod_{k=0}^{n-1}(\exp(2x\mi)-\exp(2k\alpha \mi))$两边取模即可,这个对于计算具体的数字会有用.但如果计算一般的式子还是需要上面的做法
