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原文:Let $\{a_{n}\}$ and $\{b_{n}\}$ be the sequences of real numbers such that\[(2+i)^{n}=a_{n}+b_{n} \mi\]for all integers $n \geq 0$, where $i=\sqrt{-1}$. What is$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n} b_{n}}{7^{n}}$ ?
中文题目:设 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是对一切非负整数$n$满足下式的实数列:\[(2+i)^{n}=a_{n}+b_{n} \mi\], 其中$\mi$是虚数单位.$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n} b_{n}}{7^{n}}$的值是?
解:直接展开求出$a_b,b_n$不太方便,所以可以选择平方直接出现$a_n b_n$
\[(2+\mi)^{2n}=(3+4\mi)^n=(a_n^2-b_n^2)+2a_n b_n \mi\]
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3+4\mi)^n}{7^n}=\frac{1}{1-\frac{3+4\mi}{7}}=\frac{7+7\mi}{8}\]
两边取虚部再除以2,得\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}=\frac{7}{16}\]
