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已知平面上有四个不同的点$A,B,C,D$,则集合$M=\{ \vv{PQ} \cdot \vv{RS} \mid \{P,Q,R,S\}=\{A,B,C,D\} \}$的元素个数不可能是$\tk$
(A).1
(B).2
(C).3
(D).6
解析:不太常规的问题.由于变量多,那就需要考虑一些更加本质的问题.
如果$t \in M$,可以得到什么?
可以确定$-t \in M$,因为我们只需保持$P,Q$不变,交换$R,S$就能使得这个内积反号.
因此,非0实数必定在$M$中成对出现.如果$0 \in M$,那么$M$就有奇数个元素;如果$0 \notin M$,那么$M$就有偶数个元素.
那么如果取$A$,就意味着$M$中只有0,也就是任何一个取法的向量都是互相垂直的.这个很容易判断,一个三角形的三个顶点和它的垂心就行了.
如果取$B$,那么就意味着$M$中只有两个不同的元素$t,-t(t \ne 0)$.这里需要一点额外的知识,或者知道托勒密定理的复数证法,或者直接知道这样一个简单的恒等式:\[(a-b)(c-d)+(a-c)(d-b)+(a-d)(b-c)=0\]
用向量去替换它,如($\vv{OA}$替换$a$)可得\[\vv{BA} \cdot \vv{DC}+\vv{CA}\cdot \vv{BD}+\vv{DA} \cdot \vv{CB}=0\]
而如果$M=\{t,-t\}$,则会发现,无论三者如何取值,都只能导致$t=0$,从而矛盾.所以$2$是取不到的
$C$.取3是可能的,这意味着$M=\{0,t,-t\}$.取等腰直角三角形的三个顶点和斜边中点即可.
$D$.取6也是可能的,这是最普通的情况.就是6种内积互不相同(分为3组,每组考虑反向有2种可能)
注:根据$B,D$的分析可知,$M$的结构必定是$\{a,b,a+b,-a,-b,-(a+b)\}$这种,但是随着有些值相等,集合元素会减少.
6个元素互不相等如($a=1,b=3$)则是6;
$a=b \ne 0$时,可以取4;
$a=0,b \ne 0$会得到3;
$a=b=0$,会得到1;
除2此以外,5也是取不到的.因为奇数意味着必定含0.根据$B$中的恒等式,必定有另外两组内积互为相反数取$t,-t$,进而交换位置导致产生2组$t$,2组$-t$.只能是1或者3,产生矛盾.
