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泰勒發明一種方法來擴展一組數。例如將一組數 $[1,8]$ 泰勒化，則可造出兩組 數 $[2,9]$ ]與 $[3,10]$, 它們的每一項都由前組數的每一項各加 1 而得，再將這三 組數依序合併在一起而得另一組數 $[1,8,2,9,3,10]$ 。若他由只有一個數[0]的 這組數開始, 不斷地將它泰勒化, 則可得一組數：\[[0,1,2,1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4, \cdots]\]請問這組數中的第 2012 個數是什麼？
首先观察一些基本结论,第一组数长度为1,每泰勒化一次长度变成3倍.所以操作$k$次后长度变为$3^k$
我们把第$x$个数记作$f(x)$,$x$从0开始计算
假如我们已知了这$3^k$个数的值,下面的$3^{k+1}$组就都知道了
因为按照泰勒化的规则,$[f(0),f(1),\dots,f(3^k-1)]$会变成\[ [f(0),f(1),\dots,f(3^k-1);f(0)+1,f(1)+1,\ldots,f(3^k-1)+1;f(0)+2,f(1)+2,\ldots,f(3^k-1)+2)]\]
换言之,$f(x)+1=f(x+3^k),f(x)+2=f(x+2 \cdot 3^k),0<x \le 3^k$
比如从$0 \to 729-1$的值可以得到$0 \to 2187-1$的值,而$2012$就在这里
考虑$554+2 \cdot 729=2012$,$f(554)+2=f(2012)$
接着继续执行类似的操作$68+2 \cdot 243=554,f(68)+2=f(554)$
$14+2 \cdot 27=68,f(14)+2=f(68)$
$5+9=14,f(5)+1=f(14)$
从而$f(2012)=f(5)+7=9$
不过进一步思考的话会发现它与三进制有关,上面的$f(x)$就是$x$在三进制下的数码和.下面用归纳法证明:
当$x=0,1,2$显然成立
假设$x=0,1,\dots,3^k-1$时,$f(x)$都是$x$在三进制下的数码和.
即$x=\overline{(a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_1 a_0)}_3$($a_j \in \{0,1,2\},0 \le j \le k-1)$时,$\ds f(x)=f(\overline{(a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_1 a_0)}_3)=\sum_{j=0}^{k-1} a_j$
那么考虑一次泰勒化操作,$f(x)+1=f(x+3^k),f(x)+2=f(x+2 \cdot 3^k),0<x \le 3^k$,表明
\[ f(\overline{(1a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_1 a_0)}_3)=1+\sum_{j=0}^{k-1} a_j\]
以及\[ f(\overline{(2a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_1 a_0)}_3)=2+\sum_{j=0}^{k-1} a_j\]
这表明对于$k+1$也是成立的.
从而对一切正整数$x$,$f(x)$就是$x$在三进制下的数码和
从而第2012项是$f(2011)=f(\overline{2202111}_3)=2+2+0+2+1+1+1=9$
