阅读提示:
如果是移动端阅读,可能会发生公式截断的问题,需要将设备横屏变为宽屏模式才能正常阅读.毕竟数学内容不同于纯文字.
另外,网站采用mathjax渲染latex代码,qq或者微信内置浏览器第一次打开可能会只显示源码不作处理.需要退出后再次打开才能正确渲染,其他浏览器应无问题.
已知函数$\ds f(x)=ax+\frac{1}{x}+a,x \in (0,+\infty)$,$A=\{x \in \mr \mid f(x)<x\},B=\{x \in \mr \mid f(f(x))>f(x)\}$,$A \cap B \ne \emptyset$,则实数$a$的取值范围是$\tk$
考虑到定义域,也就说要存在实数$x$满足$$\begin{cases}x>0\\f(x)>0\\f(x)<x\\f(f(x))>f(x)\end{cases}$$
其中,$f(x)<x$等价于$\ds a<\frac{x-\frac{1}{x}}{x+1}=1-\frac{1}{x}$
$f(f(x))>f(x)$为$\ds a f(x)+\frac{1}{f(x)}+a>ax+\frac{1}{x}+a$,分解得$\ds (f(x)-x)(a-\frac{1}{x f(x)})>0$
从而等价于$$\begin{cases}x>0\\f(x)>0\\\frac{1}{x}<1-a\\a x f(x)<1\end{cases}$$
(I).若$a \ge 1$,显然$f(x)>x$,矛盾
(II).若$0<a<1$,等价于$\ds \begin{cases}x>\frac{1}{1-a}\\a x f(x)<1\end{cases}$
$a x f(x)$在$\ds (\frac{1}{1-a},+\infty)$是增函数,所以等价于\[a \cdot \frac{1}{1-a} \cdot f(\frac{1}{1-a})<1,a^2-3a+1>0\]
从而$\ds 0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(III).若$a=0$,取$x=2$即满足
(IV).若$a<0$,$ax f(x)<0<1$恒成立,等价于$$\begin{cases}x>\frac{1}{1-a}\\f(x)>0\end{cases}$$
$f(x)$在$\ds (\frac{1}{1-a},+\infty)$是减函数,所以等价于\[f(\frac{1}{1-a})>0\]
化简得恒成立.
综上,$a$的取值范围是$\ds (-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2})$
