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已知$a,b,c \ge 0$,$a+b^2+c^3=9$,求$f=a+2b+3c$的最值
首先,$f=9-b^2-c^3+2b+3c \le 9-b^2-c^3+(b^2+1)+(c^3+1+1)=12$
因此最大值$12$,取等时$b=c=1,a=7$
然后,若$c^2 \le 3$,结合$0 \le b \le 3$
$f=10-(b-1)^2+c(3-c^2) \ge 10-(b-1)^2 \ge 10-(3-1)^2=6$
若$c^2>3,c^3>3\sqrt{3},b^2<9-3\sqrt{3}<4,0 \le b <2$
求导可得$3c-c^3$在$(\sqrt{3},\sqrt[3]{9}]$递减
故$f=10-(b-1)^2+3c-c^3 \ge 9+3c-c^3 \ge 9+3\sqrt[3]{9}-9=3\sqrt[3]{9}>6$
因此最小值6,取等时$b=3,a=c=0$
