1.求$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+9}+2\sqrt{5x^2-2x+2}}{\sqrt{x^2+1}}$的最小值
解答:三个根号看起来可怕.但是如果平方会发现只剩下一个根号了
由于\begin{align} &\sqrt{x^2+9}\sqrt{5x^2-2x+2}=\sqrt{x^2+9}\sqrt{(2x-1)^2+(x+1)^2} \\ &\ge x(2x-1)+3(x+1)=2x^2+2x+3\end{align}
\begin{align} &(\sqrt{x^2+9}+2\sqrt{5x^2-2x+2})^2 \\ &\ge (x^2+9)+4(5x^2-2x+2)+4(2x^2+2x+3)=29(x^2+1)\end{align}
$y^2 \ge 29,y \ge \sqrt{29}$
取等时$x(x+1)=3(2x-1),x^2-5x+3=0$
2.设$a,b>0,a\sqrt{1-b^2}-b\sqrt{1-a^2}=ab$.求证:$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \le \sqrt{5}$
解答:待证是齐次的,所以我们只需要用某种方式将题目变成齐次即可
考虑柯西不等式(其实是Aczel不等式,用柯西写的),以及$a>b$\[ b\sqrt{1-a^2}+\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{a^2-b^2} \le \sqrt{a^2}\sqrt{1-b^2}\]
故\[ ab=a\sqrt{1-b^2}-b\sqrt{1-a^2} \ge a^2-b^2,0<\frac{a}{b}-\frac{b}{a} \le 1\]
平方即可得到\[ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})^2+4 \le 5\]
3.正实数$a,b$满足$a+b=a^3 b^2$,求$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值
解答:本题需要平方,出现题干中的式子,类似于2018年湖北数学联赛预赛试题.\begin{gather}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})^2=\frac{4a(a+b)+b^2}{a^2 b^2}\\\frac{4a \cdot a^3 b^2+b^2}{a^2 b^2}=4a^2+\frac{1}{a^2} \ge 4\end{gather}
4.$x \in \mr$,求$ \displaystyle f= \frac{x^2+(2-x)^2}{\sqrt{[(2-x)^2+2^2](x^2+1)}}$的取值范围
解答:考虑如下恒等式(二阶的拉格朗日恒等式,也是证明柯西的中间过程)
\[ x^2+(2-x)^2=2[(x-1)^2+1] \]\[ [(2-x)^2+2^2](x^2+1)=[(x-1)^2+1]^2+(x+2)^2\]
可得\begin{gather} \left( \frac{x^2+(2-x)^2}{\sqrt{[(2-x)^2+2^2](x^2+1)}} \right)^2\\ =\frac{4[(x-1)^2+1]^2}{[(x-1)^2+1]^2+(x+2)^2} =\frac{4}{1+[ \frac{x+2}{(x-1)^2+1} ]^2}\end{gather}
换元$y=x+2$容易求得$ \displaystyle \mid \frac{x+2}{(x-1)^2+1} \mid \in [0,\frac{1}{2\sqrt{10}-6}]$
从而$ \displaystyle f= \frac{x^2+(2-x)^2}{\sqrt{[(2-x)^2+2^2](x^2+1)}} \in [\frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}-\sqrt{5}\right),2]$
分别于$x=\sqrt{10}-2,-2$取等
