对于$\max$函数,我们常用的是\[\max(a,b) \ge a,\max(a,b) \ge b\]
而实际上我们还可以使用它的加权形式:\[\forall t \in [0,1],\max(a,b) \ge ta+(1-t)b\]

1.$a,b>0$,求$\ds h=\max(a,\frac{1}{b})+\max(b,\frac{2}{a})$的最小值

引入参数$x,y \in [0,1]$
\[h \ge xa+(1-x)\frac{1}{b}+y\frac{2}{a}+(1-y)b \ge 2\sqrt{2xy}+2\sqrt{(1-x)(1-y)}=f(x,y)\]
由于此式是恒成立,所以\[h \ge \max f(x,y)\]
而\[f(x,y)=2(\sqrt{2x}\sqrt{y}+\sqrt{1-x}\sqrt{1-y}) \le 2\sqrt{2x+1-x}\sqrt{y+1-y}=2\sqrt{x+1} \le 2\sqrt{2}\]
且于$x=1,y=1$取等

故可得$h \ge 2\sqrt{2}$.且根据取等的$x,y$可以写出\[h \ge a+\frac{2}{a} \ge 2\sqrt{2}\]

2.$a,b,c>0$,求$\ds h=\max(a,\frac{1}{b})+\max(b,\frac{2}{c})+\max(c,\frac{3}{a})$的最小值

同理,我们引入$x,y,z \in [0,1]
$\begin{gather*}h \ge xa+(1-x)\frac{1}{b}+yb+(1-y)\frac{2}{c}+zc+(1-z)\frac{3}{a}\\\ge 2\sqrt{3(1-z)x}+2\sqrt{(1-x)y}+2\sqrt{2(1-y)z}=f\\\frac{f}{2}=\sqrt{3x}\sqrt{1-z}+\sqrt{2(1-y)}\sqrt{z}+\sqrt{(1-x)y}\\\le \sqrt{3x+2(1-y)}\sqrt{1-z+z}+\sqrt{(1-x)y}\\=\sqrt{x+\frac{2(1-y)}{3}}\sqrt{3}+\sqrt{1-x}\sqrt{y}\\\le \sqrt{1+\frac{2(1-y)}{3}}\sqrt{3+y}=\sqrt{\frac{1}{3}(15-y-2y^2)} \le \sqrt{5}\\f \le 2\sqrt{5}\end{gather*}
取等时\[y=0,x=1,z=\frac{2}{5}\]
知道取等以后就可以用下面这种看起来很厉害的办法写过程了
\begin{gather*}h=\max(a,\frac{1}{b})+\max(b,\frac{2}{c})+\max(c,\frac{3}{a})\\\ge a+\frac{2}{c}+(\frac{2}{5}c+\frac{3}{5}\frac{3}{a})=a+\frac{9}{5a}+\frac{2}{c}+\frac{2c}{5}\\\ge 2\sqrt{\frac{9}5}+2\sqrt{\frac{4}{5}}=2\sqrt{5}\end{gather*}
只需要举出一例保证可以取到即可

很明显,如果最后关于$y$的二次函数取最值不在端点,整个式子就会更加复杂.按照这种思路,就可以自己命制新的问题了

3.$a,b,c>0$,求$\ds h=\max(a,\frac{4}{b})+\max(b,\frac{2}{c})+\max(c,\frac{3}{a})$的最小值

\begin{gather*}h=\max(a,\frac{4}{b})+\max(b,\frac{2}{c})+\max(c,\frac{3}{a})\\\ge \frac{5}{12}a+\frac{7}{12}\frac{4}{b}+\frac{7}{8}b+\frac{1}{8}\frac{2}{c}+\frac{1}{6}c+\frac{5}{6}\frac{3}{a}\\=5(\frac{a}{12}+\frac{1}{2a})+7(\frac{b}{8}+\frac{1}{3b})+(\frac{c}{6}+\frac{1}{4c})\\\ge 10\sqrt{\frac{1}{24}}+14\sqrt{\frac{1}{24}}+2\sqrt{\frac{1}{24}}=\frac{13\sqrt{6}}{6}\end{gather*}
当且仅当$\ds a=\sqrt{6},b=\frac{2\sqrt{6}}{3},c=\frac{\sqrt{6}}{2}$取等

其实就是三个$\max$里面的东西同时相等\[a=\frac{4}{b},b=\frac{2}{c},c=\frac{3}{a}\]
而后再根据这个取等凑系数.这句话很重要,不再举例.

• 若对于任意的$b \in R$,都存在$x \in [1,a]$,使得不等式$\ds |ax^2+bx-1| \ge \frac{5}{4}x$成立,求实数$a$的取值范围

本题是存在性,不能随便代入.得化成最值问题.
注意到由于左右都是变量我们不能转化,所以考虑分离变量,两边同时除以$x$则变成熟悉的问题:
对于任意的$b \in \mr$,都存在$x \in [1,a]$,使得不等式$\ds |ax-\frac{1}{x}+b| \ge \frac{5}{4}$成立
注意”对于任意的$b \in \mr$”,这句话表明对于$b$来说这是个任意性问题.

考虑到$\ds g(x)=ax-\frac{1}{x} \in [g(1),g(a)]$,等价于
$$\min_{b \in \mr} \max \{|b+g(1)|,|b+g(a)|\} \ge \frac{5}{4}$$
而熟知左边等于$\ds \frac{|g(1)-g(a)|}{2}=\frac{g(a)-g(1)}{2}$,故等价于
$$a^2-\frac{1}{a}-a+1 \ge \frac{5}{2}$$
解得$a \ge 2$

• 已知函数$f(x)=ax^2+bx+a+b$在区间$[1,2]$上至少有一个零点,求$a^2+b^2-2b$的最小值

这看起来是一个老题改编的,我们用老题的思路写写看:
首先凑出来$a,b-1$
$$a(x^2+1)+(b-1)(x+1)=-(x+1)$$
而后要出现$a^2+(b-1)^2$,故使用柯西
$$|x+1|=|a(x^2+1)+(b-1)(x+1)| \le \sqrt{a^2+(b-1)^2}\sqrt{(x^2+1)^2+(x+1)^2}$$
$$a^2+b^2-2b \ge \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2+(x+1)^2}-1=-\frac{1}{1+g^2(x)}$$
其中
$$g(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \ge \frac{3}{5}$$
故
$$a^2+b^2-2b \ge -\frac{25}{34}$$

但是本题特殊,原条件中$a,b$是成比例的,所以有更直接的算法,先对于确定的$b$求$a$的最值化为$b$的函数,而后求这个函数的最值即可
$$-\frac{a}{b}=\frac{x+1}{x^2+1} \ge \frac{3}{5}$$
平方可得
$$a^2 \ge \frac{9}{25}b^2$$
$$a^2+b^2-2b \ge \frac{34}{25}b^2-2b \ge -\frac{25}{34}$$
当$\ds a=-\frac{15}{34},b=\frac{25}{34}$取等

若函数$f(x)=|a\sin x+b \cos x-1|+|b \sin x-a \cos x|,(a,b \in \mr)$的最大值为11,则$a^2+b^2=\tk$

本题需要利用基本的绝对值恒等式:$|a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-b|\}$

\begin{gather}    f(x)=\max\{|(a+b)\sin x+(b-a) \cos x-1|,|(a-b)\sin x +(a+b)\cos x-1|\}\\    \le \sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}+1    =\sqrt{2(a^2+b^2)}+1\end{gather}

且只要$(a-b)\sin x +(a+b)\cos x=-\sqrt{2(a^2+b^2)}$就能取到等号,而根据辅助角公式我们知道这总是可以做到的
所以$\max f(x)=\sqrt{2(a^2+b^2)}+1=11$

$a^2+b^2=50$

上周学生问了我这样一个离心率问题
如图,椭圆的焦点$F_1$、$F_2$,椭圆上三点$A$、$B$、$C$满足:$F_1 \in AB,F_2 \in AC$.如果$\ds AF_2:F_2C=3:2,BF_2 \perp AC$.求椭圆的离心率.

我当时给的解答是下面这样的:
设$AF_1=1,BF_1=x$,
则$\ds AF_2=(1+x)\cos A,BF_2=(1+x)\sin A$,
比例可得$\ds CF_2=\frac{2}{3}AF_2=\frac{2}{3}(1+x)\cos A$

考虑到椭圆定义,可得$AF_1+AF_2=BF_1+BF_2$,也就是\[   AF_1-BF_1=BF_2-AF_2,1-x=(1+x)(\sin A-\cos A)\]
两个变量,所以还需要建立一个方程才能解.这也是本题的主要矛盾.
下面这种做法需要用到椭圆极坐标方程得到的一个结论:过焦点的弦被焦点分割的两部分,它们的倒数和是常数.
对于本题来说就是:$\ds \frac{1}{AF_1}+\frac{1}{BF_1}=\frac{1}{AF_2}+\frac{1}{CF_2}$,等于某个公共常数(只与椭圆自身有关) 那么就可以建立第二个方程:\[    1+\frac{1}{x}=\frac{1}{AF_2}+\frac{1}{CF_2}=\frac{1}{(x+1)\cos A} \cdot \frac{5}{2}\]
两个方程整理如下\[        \frac{1-x}{1+x}=\sin A-\cos A,        \frac{(1+x)^2}{x}=\frac{5}{2\cos A}\]

注意到\[    \frac{4x}{(1+x)^2}=1-(\frac{1-x}{1+x})^2=1-(\sin A-\cos A)^2=2\sin A\cos A\]
和第二个式子相乘可得$\ds 4=5\sin A,\sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5}$,
进而$\ds x=\frac{2}{3},AF_2=1,F_1F_2=\sqrt{1+1-2\cos A}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
从而离心率\[    e=\frac{F_1F_2}{AF_1+AF_2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\]

后来他们说拿给高三的学生做,做法也只有更复杂的,需要解四次方程之类的.(这个做法如果硬解也不容易,只是是用来恒等变形直接消元处理解方程才变得简单)
不知是否有更简单的做法