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- 若对于任意的$b \in R$,都存在$x \in [1,a]$,使得不等式$\ds |ax^2+bx-1| \ge \frac{5}{4}x$成立,求实数$a$的取值范围
本题是存在性,不能随便代入.得化成最值问题.
注意到由于左右都是变量我们不能转化,所以考虑分离变量,两边同时除以$x$则变成熟悉的问题:
对于任意的$b \in \mr$,都存在$x \in [1,a]$,使得不等式$\ds |ax-\frac{1}{x}+b| \ge \frac{5}{4}$成立
注意”对于任意的$b \in \mr$”,这句话表明对于$b$来说这是个任意性问题.
考虑到$\ds g(x)=ax-\frac{1}{x} \in [g(1),g(a)]$,等价于
$$\min_{b \in \mr} \max \{|b+g(1)|,|b+g(a)|\} \ge \frac{5}{4}$$
而熟知左边等于$\ds \frac{|g(1)-g(a)|}{2}=\frac{g(a)-g(1)}{2}$,故等价于
$$a^2-\frac{1}{a}-a+1 \ge \frac{5}{2}$$
解得$a \ge 2$
- 已知函数$f(x)=ax^2+bx+a+b$在区间$[1,2]$上至少有一个零点,求$a^2+b^2-2b$的最小值
这看起来是一个老题改编的,我们用老题的思路写写看:
首先凑出来$a,b-1$
$$a(x^2+1)+(b-1)(x+1)=-(x+1)$$
而后要出现$a^2+(b-1)^2$,故使用柯西
$$|x+1|=|a(x^2+1)+(b-1)(x+1)| \le \sqrt{a^2+(b-1)^2}\sqrt{(x^2+1)^2+(x+1)^2}$$
$$a^2+b^2-2b \ge \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2+(x+1)^2}-1=-\frac{1}{1+g^2(x)}$$
其中
$$g(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \ge \frac{3}{5}$$
故
$$a^2+b^2-2b \ge -\frac{25}{34}$$
但是本题特殊,原条件中$a,b$是成比例的,所以有更直接的算法,先对于确定的$b$求$a$的最值化为$b$的函数,而后求这个函数的最值即可
$$-\frac{a}{b}=\frac{x+1}{x^2+1} \ge \frac{3}{5}$$
平方可得
$$a^2 \ge \frac{9}{25}b^2$$
$$a^2+b^2-2b \ge \frac{34}{25}b^2-2b \ge -\frac{25}{34}$$
当$\ds a=-\frac{15}{34},b=\frac{25}{34}$取等
