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证明:$9(t^4+1)^3 \ge 8(t^6+t^3+1)^2,\forall t \in \mr$
显然只需考虑$t>0$的情况
取$\ds f(t)=\ln\frac{9}{8}+3\ln(t^4+1)-2\ln(t^6+t^3+1)$
求导得\[ f'(t)=\frac{4t^3}{t^4+1} \times 3-\frac{6t^5+3t^2}{t^6+t^3+1} \times 2=\frac{6t^2(t+1)}{(t^4+1)(t^6+t^3+1)}(t-1)^3\]
单调性明确,显然成立
或者两边除以$t^6$,等价于\[ 9(t^2+\frac{1}{t^2})^3 \ge 8(t^3+\frac{1}{t^3}+1)^2\]
换元$u=t+\frac{1}{t} \ge 2$,等价于
\[ 9(u^2-2)^3 \ge 8(u^3-3u+1)^2\]
注意到$u=2$时是取等的,故一定可以分离出$u-2$
事实上会分解为$(u-2)^2 \left(u^4+4 u^3+6 u^2-8 u-20\right)$
考虑$u^4+4 u^3+6 u^2-8 u-20 \ge 8u+16u+12u-8u-20=28u-20>0$,故\[ 9(u^2-2)^3 – 8(u^3-3u+1)^2=(u-2)^2 \left(u^4+4 u^3+6 u^2-8 u-20\right) \ge 0\]
