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凸四边形$ABCD$,$AC$交$BD$于点$E$,$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DEC}=1$.求$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$的最小值
解:很粗糙的估计,四边形面积有下限,而边长的平方可以均值估计为面积.
我们用$[XYZ]$表示三点$X,Y,Z$组成的三角形面积(同理四点)
由基本面积恒等式\[ 1=[ABE] \cdot [CDE]=[BCE] \cdot [DAE]\]
设$x=[BCE]$
由均值不等式
\begin{gather} AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 \ge 2 AB \cdot BC+2 CD \cdot DA\\ \ge 4[ABC]+4[CDA]=4(1+x)+4(1+\frac{1}{x})\\ =8+4(x+\frac{1}{x}) \ge 16\end{gather}
且当四边形是正方形时可取等
实际考试可以直接当四边形是正方形算
