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本题是一个稍有难度的不等式
已知$x_{i} \in \mR(1 \leq i \leq 8)$ 的和为 8, 其中最大的数不超过最小的数的 3 倍, 则 $\ds \sum_{i=1}^{8} x_{i}^{2}$ 的最大值为
不妨设$m=\min x_i,M=\max x_i$,则$m \le x_i \le M, \forall i=1,2,\dots,8$,且$0<m \le 1 \le M \le 3m$
故$(x_i-m)(x_i-M) \le 0,x_i^2 \le (M+m) x_i-Mm$
对上式求和并考虑到$m \le 1$,有
\begin{gather} \sum_{i=1}^8 x_i^2 \le (M+m) \sum_{i=1}^8 x_i-8Mm=8(M+m-Mm)\\ =8M(1-m)+8m \le 8 \cdot 3m (1-m)+8m \le \frac{32}{3}\end{gather}
当$\ds x_1=x_2=\dots=x_6=\frac{2}{3},x_7=x_8=2$时可取等
故 $\ds \sum_{i=1}^{8} x_{i}^{2}$ 的最大值为$\ds \frac{32}{3}$
关于这份题目我只看到网上写的个别题的解答,但这个题他做错了
