设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=x_{n}^{2}-2 x_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$, 且对于任意 $x_{1} \neq 0$, 都存在正整数 $n$ 使得 $x_{n} \geqslant m$, 求实数 $m$ 的最大值
看到这题我首先想到不动点$0,3$.但是稍微考虑一下,如果$x_1=2$,那么这时2就足够了,所以不动点不符合题意
既然一阶不动点不可以,那为什么不能是二阶不动点呢?
我们假设数列是按照$a,b,a,b,\dots$这样周期进行的
尝试解方程组\[ \begin{cases} b=a^2-2a\\ a=b^2-2b \end{cases}\]
即可得到$\ds (a,b)=(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$
这样我们就有理由猜测$\ds \frac{1+\sqrt{5}}{2}$是最终需要的结果.
首先.若$\ds x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,整个数列只有$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}$两个数,所以$\ds m \le \max x_n= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
其次.我们证明不可能对一切正整数$n$都有$\ds x_n <\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
假如有这样的数列,由$\ds x_{n+1}=x_n^2-2x_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,解得$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_n<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
从而总有$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
再来一次,$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_{n+1}=x_n^2-2x_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,解得$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_n<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
解法1:
来最后一次,$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_{n+1}=x_n^2-2x_n<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,解得\[ 1-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}<x_n<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]
考虑$\ds \frac{5-\sqrt{5}}{2}<\frac{5-1}{2}=2$,从而$\ds 1-\sqrt{2}<x_n<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又因为\begin{gather} |x_{n+2}-x_{n+1}|=|(x_{n+1}^2-2x_{n+1})-(x_n^2-2x_n)|\\ =|(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n-2)|\\ =|x_{n+1}-x_n| \cdot |x_n^2-x_n-2|\end{gather}
注意到当$\ds x _n \in (1-\sqrt{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}),x_n^2-x_n-2 \in (-\sqrt{5},-\sqrt{2})$,故$\ds |x_n^2-x_n-2|>\sqrt{2}$
从而\[ |x_{n+2}-x_{n+1}|>\sqrt{2} |x_{n+1}-x_n|\]
累乘可得\[ |x_{n+2}-x_{n+1}|>(\sqrt{2})^{n} \cdot |x_2-x_1|\]
若$x_2=x_1$,解得$x_1=0,3$,与题干和假设矛盾,故$x_2 \ne x_1$
但$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_{n+2},x_{n+1}<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,可得$|x_{n+2}-x_{n+1}|<1$
于是当$\ds n>\log_{\sqrt{2}} \frac{1}{|x_2-x_1|}$时\[ (\sqrt{2})^{n} \cdot |x_2-x_1|>1>|x_{n+2}-x_{n+1}|\]
矛盾!
从而假设不成立,不存在满足$\ds x_n <\frac{1+\sqrt{5}}{2},\forall n \in \mN$的数列.
故$\ds m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是符合题意的
综上所述,$m$的最大值是$\ds \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
解法2(根据QQ群朱鹏宇解答改写):
由$\ds \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x_n<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$可得$\ds 2-x_n>\frac{1+\sqrt{5}}{2}=r,r>1$
$|x_{n+1}|=|x_n| \cdot |2-x_n|>r |x_n|$
反复进行可得$|x_{n+1}|>r^n \cdot |x_1|,\forall n \in \mN$
从而当$\ds n>\log_r \frac{\sqrt{5}-1}{2|x_1|}$时,有\[ r^n \cdot |x_1|>\frac{\sqrt{5}-1}{2|x_1|} \cdot |x_1|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}>|x_{n+1}|\]
矛盾!
从而假设不成立,不存在满足$\ds x_n <\frac{1+\sqrt{5}}{2},\forall n \in \mN$的数列.
故$\ds m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是符合题意的
综上所述,$m$的最大值是$\ds \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
