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设$a,b,c,d \in \mr$,且满足$(a+b+c)^2 \ge 2(a^2+b^2+c^2)+4d$,求证:$ab+bc+ca \ge 3d$
我一开始进入了误区,试图先考虑正实数情况,换元$a=x^2,b=y^2,c=z^2$,将条件转化为面积来处理
然后稍微考虑一下发现不太可行
于是回到最基础的思想:固定变量,.
固定$b,c,d$,则条件这个关于$a$的二次不等式意味着$a$被卡在一个有限区间里,不妨设为$[m,n]$
而要证的式子是个关于$a$的一次式,所以我们只需证明$a$取边界$m$或者$n$的时候成立即可.
而$a$取边界$m$或者$n$意味着条件是取等号的.所以等价于只需证条件取等的时候结论成立即可.
换言之我们只需证明:
若$(a+b+c)^2 = 2(a^2+b^2+c^2)+4d$,则$ab+bc+ca \ge 3d$
那么这时候$d$就是一个垃圾变量,可以直接消掉,我们只需证明
\[ ab+bc+ca \ge \frac{4}{3} [(a+b+c)^2 – 2(a^2+b^2+c^2)]\]
而这是显然的.
书写过程如下:
注意到\begin{gather} 4 (a b+b c+ca)-3 [(a+b+c)^2-2 \left(a^2+b^2+c^2\right)]\\ =a^2+b^2+c^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0\end{gather}
可得\[ 4 (a b+b c+ca) \ge 3 [(a+b+c)^2-2 \left(a^2+b^2+c^2\right)] \ge 12d\]
即\[ ab+bc+ca \ge 3d\]
