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锐角$\triangle ABC$中,求$\tan A+8\tan B+13 \tan C$的最小值
设$x=\tan A>0,y=\tan B>0,z=\tan C>0$,则$xyz=x+y+z$
\begin{align} x+8y+13z&=\frac{1}{z}[(xz-1)+8(yz-1)]+\frac{9}{z}+13z\\ &\ge \frac{1}{z} \cdot 2\sqrt{8(xz-1)(yz-1)}+\frac{9}{z}+13z\\ &= \frac{1}{z} \cdot 2\sqrt{8[z(xyz-x-y)+1]}+\frac{9}{z}+13z\\ &= \frac{4}{z} \sqrt{2} \cdot \sqrt{z^2+1}+\frac{9}{z}+13z\\ & \ge \frac{4}{z}(z+1)+\frac{9}{z}+13z\\ & =4+13(z+\frac{1}{z}) \ge 30\end{align}
当$\ds z=1,y=\frac{3}{2},x=5$取等
故$\tan A+8\tan B+13 \tan C$的最小值是30
另解:
齐次化用取等凑30元均值
注意到
\begin{align} x+8y+13z=\frac{x}{5} \times 5+&\frac{2y}{3} \times 12+z \times 13\\ &\ge 30\sqrt[30]{(\frac{x}{5})^5 (\frac{2y}{3})^{12} z^{13}}\\ x+y+z=\frac{x}{10} \times 10+&\frac{y}{3} \times 3+\frac{z}{2} \times 2\\ &\ge 15 \sqrt[15]{(\frac{x}{10})^{10} (\frac{y}{3})^3 (\frac{z}{2})^2}\\ (x+8y+13z)^2 (x+y+z) \\ \ge 30^2 \sqrt[15]{(\frac{x}{5})^5 (\frac{2y}{3})^{12} z^{13}} &\times 15 \sqrt[15]{(\frac{x}{10})^{10} (\frac{y}{3})^3 (\frac{z}{2})^2}=30^2 xyz\end{align}
结合$xyz=x+y+z$,可得$x+8y+13z \ge 30$
注:换系数会导致题目不可解,变为高次方程的根
