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存在 $x \geq 1$, 使得 $\ds \ln x+a x^{2}-x \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 成立, 求整数 $a$ 的最小值.
由不等式$x – \ln x \ge 1$,以及三元均值不等式,存在$x \ge 1$使得 \begin{gather} ax^2 \ge 1+x+\frac{x^3}{2}-\ln x\\ =1+(x-\ln x)+\frac{x^3}{2} \ge 2+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4} \\ \ge \sqrt[3]{2 \times \frac{x^3}{4} \times \frac{x^3}{4}} =\frac{3}{2}x^2 \end{gather}
从而$\ds a \ge \frac{3}{2}$,结合$a$是整数,$a \ge 2$
而当$a=2$时,存在$x=2$使得原式成立,满足题意.
故整数$a$的最小值为2
