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1.$f(x)=x^3+(a+1)x^2+2(a-1)x+2(a-1) \ge 0,\forall x>-1$,求$a$的取值范围
既然是恒成立那先考虑硬试:\[ (x^2-2)(x+1)+a(x^2+2x+2) \ge 0\]
$x \to -1,a \ge 0$
$x=0,a \ge 1$
$\ds x=1,a \ge \frac{2}{5}$
猜测$a \ge 1$就是最佳的
书写:
令$x=0$,可得$a \ge 1$
当$a \ge 1$,由于$x^2+2x+2>0$\begin{gather} f(x)=(x^2-2)(x+1)+a(x^2+2x+2)\\ \ge (x^2-2)(x+1)+(x^2+2x+2)\\ =x^2(x+2) \ge 0\end{gather}
2.$\sin 2x-a \me^x \le x-1$对$x \ge 0$恒成立,求$a$的取值范围
这函数又有正弦又有指数,只有0能让这个式子比较好看,所以直接代入0
令$x=0,a \ge 1$
当$a \ge 1$,\[ a \me^x+x-1 \ge \me^x-1+x \ge 2x \ge \sin 2x\]
其中用到$\me^x \ge 1+x,\sin x \le x,\forall x\ge 0$
