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四个实数$ a\ge b \ge c \ge d $ 满足 : $ a+b+c-3d=4 $ . 求下述不等式的最大值 :$$T=\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-d \right)\left(a-d \right).$$
取 $a-b=x,b-c=y,c-d=z,x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0,x+2y+3z=4$
$\forall t>0$ \begin{gather} T=xyz(x+y+z)=\frac{1}{t(1+2t)(2+3t)}tx \cdot (1+2t)y \cdot (2+3t)z \cdot (x+y+z)\\ \le \frac{1}{t(1+2t)(2+3t)} \left( \frac{tx+(1+2t)y+(2+3t)z+(x+y+z)}{4}\right)^4\\ =\frac{(1+t)^4}{t(1+2t)(2+3t)}=1+\frac{(t^2-t-1)^2}{t(1+2t)(2+3t)} \end{gather}
令 $\ds t=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,则有$T \le 1$
均值取等条件可以发现能够取等,自行补充.
Inequality (artofproblemsolving.com)
