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$a,b,c \in [1,2]$,求$\ds S=\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{(c-a)^2}{ca}+\frac{(a-b)^2}{ab}$的最大值
不妨设$a \le b \le c$,则
\begin{gather} S=\frac{a+c}{b}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})b+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-6\\ =\frac{a+c}{ac}(b+\frac{ac}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-6\\ \le \frac{a+c}{ac}(a+c)+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-6\\ =2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})-4 \le 1\end{gather}
其中使用了$\ds b+\frac{ac}{b} \le a+c,\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \le \frac{5}{2}$,因为对钩函数的单调性
当$\{1,1,2\}$或者$\{1,2,2\}$取等
