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求出所有的正整数$k$,使得对任意满足不等式 \[ k(ab+bc+ca)>4(a^2+b^2+c^2) \] 的正数$a,b,c$,一定存在三边长分别为$a,b,c$的三角形
考虑三角形的极端情况$(1,1,2)$,可知$k \le 6$,(否则如果$k>6$,就有$(1,1,2)$满足不等式但是不可以构成三角形)
而基本不等式可知$k>5$,因此只有$k=6$是可能的
\[ \frac{6}{5}>\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+c(a+b)} \ge \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c^2}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)} \]
令$\ds t=\frac{a+b}{c}$,得$t^2-6t+5<0,1<t<5$
这表明总是有$a+b>c$,满足题意
