阅读提示:
如果是移动端阅读,可能会发生公式截断的问题,需要将设备横屏变为宽屏模式才能正常阅读.毕竟数学内容不同于纯文字.
另外,网站采用mathjax渲染latex代码,qq或者微信内置浏览器第一次打开可能会只显示源码不作处理.需要退出后再次打开才能正确渲染,其他浏览器应无问题.
已知实数$x,y$满足$|x^2+y|-|x+y^2|=2$,则$|x|$的最小值是$\tk$
显然$|x^2+y| =|x+y^2|+2 \ge 2$
若$x^2+y\le -2$,则\[ x+y^2 \ge x+(2+x^2)^2 \ge x+(1+2|x|)^2>x+4|x| \ge 0 \]
从而原式化为$-(x^2+y)-(x+y^2)=2,(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}=0$,矛盾.
所以有$x^2+y \ge 2$
若$|x|<1$,则$y \ge 2-x^2>1$\[ x+y^2>-1+1=0\]
从而原式化为\[ (x^2+y)-(x+y^2)=2,(x-2)(x+1)=y(y-1) \]
注意到$(x-2)(x+1)<0,y(y-1)>0$,矛盾.
所以有$|x| \ge 1$,注意到$x=-1,y=1$可取等,因此$|x|$的最小值为1
