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如果是移动端阅读,可能会发生公式截断的问题,需要将设备横屏变为宽屏模式才能正常阅读.毕竟数学内容不同于纯文字.
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已知$a,b,c$是三角形的三边长,求证:
\[ \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}<2\]
注意到
\begin{align} &(1+\mi) (a+\mi b) (b+\mi c)(c+\mi a)\\ =&-\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-2abc\right)\\ &+\mi \left(a^2 b-a^2 c-a b^2+a c^2+b^2 c-b c^2\right)\end{align}
取模的平方,可得
\begin{align} &2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\\ =&\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-2abc\right)^2\\ &+\left(a^2 b-a^2 c-a b^2+a c^2+b^2 c-b c^2\right)^2\\ \ge&\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-2abc\right)^2\\ =&[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+(a^3+b^3+c^3)]^2\\ >&(a^3+b^3+c^3)^2\end{align}
