由于wordpress升级6.0后的编辑器与latex插件结合起来实在难用(每个换行复制后都变成切换不同的块,需要手动合并,gather之类的环境用起来要死要活),所以很久没更新了.
今天把wordpress降级到5.9才开始写新文章.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, 公比为 $q$, 数列 $\left\{c_n\right\}$ 中, $c_n=a_n b_n$,$S_n$ 是数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和。若 $S_m=11, S_{2 m}=7, S_{3 m}=-201$ ( $m$ 为正偶数), 则 $S_{4 m}$ 的值为
A. $-1601$
B. $-1801$
C. $-2001$
D. $-2201$
我们知道,等差乘以等比型数列的前$n$项和可以表示为$S_n=g_n q^n-g_0$的结构,其中$g_n$是某个等差数列.
实质就是$a_n$具有裂项表达式$a_n=g_n q^n-g_{n-1}q^{n-1},\forall n \in \mz$(将$n$扩展为一般整数,下面才能方便的用$S_0$,否则在求和意义下是没有$S_0$的)
那么题目可以看做\begin{gather} g_m q^m-g_0=11\\ g_{2m} q^{2m}-g_0=7\\ g_{3m} q^{3m}-g_0=-201\\ g_{4m} q^{4m}-g_0=?\end{gather}
我们记$f_k=g_{km} Q^{k}-g_0,Q=q^m>0$,由线性递推的性质,它的特征方程为$(x-1)(x-Q)^2=x^3-(1+2Q)x^2+(Q^2+2Q)x-Q^2=0$
故我们有$f_k-(1+2Q)f_{k-1}+(Q^2+2Q)f_{k-2}-Q^2 f_{k-3}=0$
考虑$f_0=g_0-g_0=0,f_1=11,f_2=7,f_3=-201$,令$k=3$可得\[ -201-(1+2Q) \times 7+(Q^2+2Q) \times 11-Q^2 \times 0=0 \]
化简得$(Q-4)(11Q+52)=0,Q=4$
故\[ S_{4m}=f_4=9f_3-24f_2+16f_2=-1801 \]
