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设$a \ge 0$,函数$f(x)=(x+1)\ln x+(a-2)x+2$
求证:(1)$f(x)$存在唯一零点$x_0$;
(2)若$x_1+a=\sin x_1$,则$x_1-\ln x_0 \le 0$
证明:第一问可以证$f(x)$单调递增,略
第二问:用$a$表示$x_1$是不现实的,所以我们整体将$f(x)$中的$a$换成$x_1-\sin x_1$
考虑$f(x)$的单调性\[ x_1-\ln x_0 \le 0 \iff \me^{x_1} \le x_0 \iff f(\me^{x_1}) \le f(x_0)=0 \]\[ \iff f(\me^{x_1})=(\me^{x_1}+1)x_1+(\sin x_1-x_1-2)\me^{x_1}+2=(\sin x_1-2)\me^{x_1}+x_1+2 \le 0 \]
定义函数$g(x)=(\sin x-2)\me^x+x+2,g(x_1)=f(\me^{x_1})$
则\[ g'(x)=\me^x(\sin x+\cos x-2)+1,g”(x)=2\me^x (\cos x-1) \le 0 \]
可得$g'(x)$在$\mr$上单调递减
所以当$x>0,g'(x)<g'(0)=0$;当$x<0,g'(x)>g'(0)=0$
故$g(x)$在$(-\infty,0)$单调递增,$(0,+\infty)$单调递减
$f(\me^x_1)=g(x_1) \ge g(0)=0$,故结论成立
