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已知$x+y=3$,求下式的最大值\[ \frac{x^2+y^2+2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}} \]
解:\begin{align} 13(x^2+1)(y^2+1)&=(9+4)[(x+y)^2+(1-xy)^2]\\ &\ge [3(x+y)+2(1-xy)]^2=[(x+y)^2+2(1-xy)]^2\\ &=(x^2+y^2+2)^2\end{align}
故可得\[ \frac{x^2+y^2+2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}} \le \sqrt{13} \]
当$xy=-1$取等,解方程可得具体取等条件
