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设整数 $n \geq 3, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是正实数. 对 $1 \leq i \leq n$, 记 $b_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}$, 其中 $a_0=a_n, a_{n+1}=a_1$. 已知对任意 $1 \leq i, j \leq n, a_i \leq a_j$ 当且仅当 $b_i \leq b_j$. 求 证: $a_1=a_2=\cdots=a_n$.
读完题以后应该会有基本的感觉:这两个条件似乎是反的.
一方面,$a_i$越大,意味着$b_i$越大;另外一方面,$a_i$越大会导致 $b_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}$要比较小.这两个条件是有矛盾性在里面的.
那么我们可以考虑$\{a_n\}$的最小项和最大项,设为$a_s,a_t$,则总有 \[ a_s \le a_i \le a_t,\forall 1 \le i \le n \]
按照题意我们有$b_s \le b_i \le b_t$,这表明$b_s,b_t$也分别是$b_i$的最小项和最大项
但是另外一方面,考虑$a_s$最小,$a_t$最大,显然 \[ 2 \le \frac{a_{s-1}+a_{s+1}}{a_s} =b_s \le b_t=\frac{a_{t-1}+a_{t+1}}{a_t} \le 2 \]
因此恒有$b_i=2$
既然对一切$1 \le i,j \le n$都有$b_i \le b_j,b_j \le b_i$,那么根据题意,可得$a_i \le a_j,a_j \le a_i$
因此一切$a_i$相同
或者回到递推化成等差数列也行.
