去掉了原题干的一些废话,所以变量显得有些奇怪,但是无误,
$a^2<1$,求$\ds M=\frac{a^2+1}{a^4}\frac{a^4+1}{(a^2-1)^2}$的最小值
解:设$x=a^2 \in (0,1),y=1-a^2$,则 \begin{align} M&=\frac{a^2+1}{a^4}\frac{a^4+1}{(a^2-1)^2}\\ &=\frac{(y+2x)[x^2+(x+y)^2]}{x^2 y^2}\\ &=\frac{(x+y)(y+2x)[x^2+(x+y)^2]}{x^2 y^2}\\ &=\frac{(2x^2+y^2+3xy)(2x^2+y^2+2xy)}{x^2 y^2}\\ & \ge \frac{(2\sqrt{2} xy+3xy)(2\sqrt{2}xy+2xy)}{x^2 y^2}\\ &=14+10\sqrt{2} \end{align} 当$2x^2=y^2$取等
