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证明:若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $6(b c+c a+a b) \geq 5\left(a^2+b^2+c^2\right)$ ，则对实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，有\[ a^2(x-y)(x-z)+b^2(y-z)(y-x)+c^2(z-x)(z- y) \geq 0\]
考虑\[ 6ab \ge 5(a^2+b^2+c^2)-6ac-6bc=5(a-\frac{3}{5}c)^2+5(b-\frac{3}{5}c)^2+\frac{7}{5}c^2 \ge 0 \]
若$a=0$,显然可得$b=c=0$,下面仅考虑$abc \ne 0$的情况
此时$a,b,c$任意两个均同号
不妨设$a,b,c$均为正实数,否则全部反号不影响题目.则有 \begin{gather} 6(a+b)c+\frac{3}{2}(a+b)^2 \ge 6(bc+ca+ab) \ge 5(a^2+b^2+c^2) \ge 5\times \frac{(a+b)^2}{2}+5c^2\\ (a+b)^2-6(a+b)c+5c^2 \le 0\\ c \le a+b \le 5c \end{gather} 考虑到将$x,y,z$同时加上一个数原式不变,不妨设$z=0$,则原式化为 \[ a^2 x^2+(c^2-a^2-b^2)xy+b^2 y^2 \ge 0 \]
只需证 \[ \Delta=(c^2-a^2-b^2)^2-4a^2 b^2=-(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 0 \]
而这是显然的,所以原不等式成立.
