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英文题目: An infinite sequence of positive integers $a_1, a_2, \dots$ is called $good$ if
(1) $a_1$ is a perfect square, and
(2) for any integer $n \ge 2$, $a_n$ is the smallest positive integer such that$$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n$$is a perfect square.
Prove that for any good sequence $a_1, a_2, \dots$, there exists a positive integer $k$ such that $a_n=a_k$ for all integers $n \ge k$.
中文题目: 一个无穷正整数数列 $a_1, a_2, \dots$ 被称作”好数列”,如果它满足:
(1) $a_1$ 是完全平方数
(2) 对一切 $n \ge 2$, $a_n$ 是使得 $$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n$$为完全平方数的最小的正整数.
证明:对所有”好数列” $a_1, a_2, \dots$, 存在正整数 $k$ 使得 对一切 $n \ge k$ 都有 $a_n=a_k$.
设$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n=b_n^2$,$b_n \in \mN$ \[ b_{n}^2-b_{n-1}^2=a_1+a_2+\dots+a_n \] 显然 $b_n$严格递增
如果$a_n$最终变为常数,那么最终$b_n^2-b_{n-1}^2$就是一次的
从而最终$b_n$也是一次的,所以其实要证$b_n$最终是等差数列
要证$b_n-b_{n-1}$最终是常数
而我们证明一个正整数数列最终变为常数有一个经典做法:证明这个正整数数列不增,或者先找到某个不增的子列.
在最美好的情况下,如果总有 \[ b_{n+1}-b_n \le b_n-b_{n-1} \] 那么就可以立即判断命题成立.
可以先去尝试证明$b_{n+1} \le 2b_n-b_{n-1}$
而这需要$(n+1) a_1+n a_2+\dots+3 a_{n-1}+2 a_n<(2b_n-b_{n-1})^2$(因为如果此式成立,那么按照$a_{n+1}$的定义,$b_{n+1}^2=(n+1) a_1+n a_2+\dots+3 a_{n-1}+2 a_n+a_{n+1}$一定不会超过$(2b_n-b_{n-1})^2$)
把左边用$b_n$表达 \begin{align} & (n+1) a_1+n a_2+\dots+3 a_{n-1}+2 a_n \\ = & \left( na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n \right)+\left( a_1+a_2+\dots+a_n \right) \\ = & b_n^2+b_n^2-b_{n-1}^2=2b_n^2-b_{n-1}^2 \\ = & (2b_n-b_{n-1})^2-2(b_n-b_{n-1})^2 < (2b_n-b_{n-1})^2 \end{align} 于是可得 \[ b_{n+1}^2 \le (2b_n-b_{n-1})^2,b_{n+1}-b_{n} \le b_{n}-b_{n-1} \]
所以$b_{n+1}-b_n$是不增的正整数列,某项之后是正整数$c$,剩下的就显然了.
相关问题:2017-IMO-P1,2016-东南数学奥林匹克-P8
