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对于实数$a,b$,求$\ds S=\frac{(1-a) (1-b) (1-a b)}{\left(a^2+1\right) \left(b^2+1\right)}$的最值
令$\ds a=\frac{x+1}{x-1},b=\frac{y+1}{y-1}$(如果$a,b$中有1,则原式为0显然不是最值)
代入化简得 \begin{gather} S=\frac{(1-a) (1-b) (1-a b)}{\left(a^2+1\right) \left(b^2+1\right)} =-\frac{2 (x+y)}{\left(x^2+1\right) \left(y^2+1\right)}\\ |S|=\frac{2 |x+y|}{\left(x^2+1\right) \left(y^2+1\right)}\\ =\frac{2 |x+y|}{\left(x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+y^2\right)}\\ \le \frac{2 |x+y|}{\left(\frac{|x|}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{|y|}{\sqrt{3}}\right)} =\frac{6|x+y|}{(|x|+|y|+\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} \le \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{gather}
