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已知$\triangle ABC$的内角满足$\sin A+2\sin B=2\sin C$,求$\ds \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}$的最小值
解法1:
使用内切圆换元,面积$s$\begin{gather}a=y+z, b=z+x, c=x+y \\a=2(c-b) \Rightarrow y+z=2(y-z), y=3 z \\s^2=x y z(x+y+z)=3 x z^2(x+4 z) \\\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin c}=\frac{b c+c a-a b }{2 s}\\=\frac{x^2+4 x z+11 z^2}{2 \sqrt{3 x z^2(x+4 z)}} \geqslant \frac{2 \sqrt{11 z^2 \cdot\left(x^2+4 x z\right)}}{2 \sqrt{3 x z^2(x+4 z)}}=\frac{\sqrt{33}}{3}\end{gather}
解法2:
和差化积\begin{gather} \frac{1}{2}= \frac{\sin C-\sin B}{\sin A}=\frac{2 \cos \frac{C+B}{2} \sin \frac{C-B}{2}}{2 \sin \frac{C+B}{2} \cos \frac{C+B}{2}}=\frac{\tan \frac{C}{2}-\tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{B}{2}} \\ \tan \frac{C}{2}= 3 \tan \frac{B}{2}, \tan \frac{B}{2}=x>0, \tan \frac{C}{2}=3 x\\ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1 \Rightarrow \tan \frac{A}{2}=\frac{1-3 x^2}{4 x}>0\end{gather}
考虑万能公式\[ \frac{2}{\sin A}=\tan \frac{A}{2}+\cot \frac{A}{2}\]\begin{gather} 2\left(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}\right)=\frac{1-3 x^2}{4 x}+\frac{4 x}{1-3 x^2}+x+\frac{1}{x}-\left(3 x+\frac{1}{3x}\right) \\= \frac{11}{12} \cdot \frac{1-3 x^2}{x}+4 \cdot \frac{x}{1-3 x^2} \geqslant 2 \sqrt{\frac{11}{12} \times 4}=2 \cdot \frac{\sqrt{33}}{3}\\\left(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}\right) \ge \frac{\sqrt{33}}{3}\end{gather}
