已知$x>0, y>0$,且$16 x^4+16 y^4+16 x^2 y^2-60 x^2-60 y^2+63=0$
求 $x+y$ 的取值范围.

考虑
\begin{align}
16(x+y)^4 =& 16(x^4+y^4+4x^3y+4xy^3+6x^2 y^2)\\
=& 16(x^4+x^2 y^2+y^4)+64xy(x^2+y^2)+80x^2 y^2\\
=& 60(x^2+y^2)-63+64xy(x^2+y^2)+80x^2 y^2\\
=& 60(x+y)^2+80x^2 y^2-120xy+64xy(x^2+y^2)-63\\
=& 60(x+y)^2+8xy[8(x^2+y^2)+10xy-15]\\
=& 60(x+y)^2+8xy \cdot 8(x+y)^2-8xy(6xy+15)\\
a =& x+y,b=xy \le \frac{a^2}{4}\\
16a^4-60a^2+63 =& 8b \cdot 8a^2-8b \cdot (6b+15)\\
\frac{16a^4-60a^2+63}{8} =& -6b^2+(8a^2-15)b
\end{align}

由判别式,左边恒正,故$8a^2-15>0$
又由均值不等式(或者配方)
\[\frac{16a^4-60a^2+63}{8} = -6b^2+(8a^2-15)b \le \frac{(8a^2-15)^2}{24}\]

化简得
\[(a^2-3)(4a^2-3) \ge 0\]
由于$\ds a^2>\frac{15}{8},4a^2-3>0$,故$a^2 \ge 3$
则$f(b)=-6b^2+(8a^2-15)b$的对称轴$\ds x_0=\frac{8a^2-15}{12} \ge \frac{a^2}{4}$

从而
\begin{gather}
\frac{16a^4-60a^2+63}{8} = f(b) \le f(\frac{a^2}{4})\\
\frac{16a^4-60a^2+63}{8} \le -6 \times \frac{a^4}{16}+(8a^2-15) \times \frac{a^2}{4}\\
(a^2-3)(a^2-7) \le 0\\
x+y=a \in [\sqrt{3},\sqrt{7}]
\end{gather}

当$\ds x=y=\frac{\sqrt{3}}{2},x=y=\frac{\sqrt{7}}{2}$可以分别取等

设 $a,b,c$ 为实数. 已知当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时,恒有 $\left| {a{x}^{2} + {bx} + c}\right| \leq 1$ ,则 $2\left| a\right| + \left| b\right| + 3\left| c\right|$ 的最大值为 $\tk$ .

本题属于多重最值里的技巧.
对于这类二次函数型问题(在某个区间上,二次函数的绝对值不超过xx),我们通常并不使用二次函数的系数,而是选取区间端点和中点的值来刻画(显然知道这三个值也就知道了三个系数)

考虑$f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c$可得
\begin{aligned}
a & =\frac{1}{2}[(a+b+c)+(a-b+c)]-c=\frac{1}{2}[f(1)+f(-1)]-f(0) \\
b & =\frac{1}{2}[(a+b+c)-(a-b+c)]=\frac{1}{2}[f(1)-f(-1)] \\
c & =f(0)
\end{aligned}
可知
\begin{aligned}
2|a|+|b|+3|c| & =2\left|\frac{1}{2}[f(1)+f(-1)]-f(0)\right|+\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|+3|f(0)| \\
& = |f(1)+f(-1)-f(0)|+\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|+3|f(0)|\\
& = \max { |f(1)+f(-1)-2f(0) \pm \frac{1}{2}(f(1)-f(1)) \pm 3f(0) |}\\
& \le \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+5=7
\end{aligned}

最后一步把四种可能都写出来,每一种都可以放缩成系数的绝对值之和.最大为7.
当$a=2,b=0,c=-1$可以取到等号.

设 $n$ 个互异的正整数 $a_1$, $a_2, \cdots, a_n$ 之和为 2000 . 记\[A=\max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\} .\]求 $A+n$ 的最小值.

考虑
\begin{align}2000&=a_1+a_2+\dots+a_n \\& \le A+(A-1)+(A-2)+\dots+(A-n+1)\\& = nA-\frac{n(n-1)}{2}\\A &\ge \frac{2000}{n}+\frac{n-1}{2}\\A+n &\ge \frac{2000}{n}+\frac{3n}{2}-\frac{1}{2} \ge 2\sqrt{3000}-\frac{1}{2}>109\\A+n &\ge 110\end{align}
且当$5,40,41,42,\dots,74$时可取等