设 $x$ 是实数, $n>2$ 为整数,已知 $\{x\}=\{x^2\}=\{x^n\}$ .证明: $x$ 是整数
证明:小数部分相同也就是差为整数,所以存在整数 $k$ 使得 $x^2-x=k$
由二次函数的性质可得 $k\ge-\frac{1}{4},k\ge0$ ,若 $k=0$ 显然$x \in \{0,1\}$,证毕.
不妨设 $k \ge 1$
考虑
\begin{gather}
x^2=x+k\\
x^3=x(x+k)=(k+1)x+k\\
x^4=(k+1)x^2+kx=(2k+1)x+k(k+1)
\end{gather}
归纳易得 $x^m=a_m x+b_m$ ,其中 $a_1=1,b_1=0$, $a_{m+1}=a_m+b_m,b_{m+1}=ka_m$
显然当 $n>2$ 时有 $x^n=a_n x+b_n,a_n>1$
考虑 $x^n-x=(a_n-1)x+b_n \in \mz$ ,可得 $x$ 是有理数
结合 $x^2-x-k=0$ , $x$ 是整数
