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关于$x$的方程$e^x-a \sin x=b\sqrt{x}$有根,求证:$a^2+b^2>\me$
这可真是个老题了,而且各种模拟题早就玩出花了,只是本题增加了一些变式,而且求的不是最值了,而是对最值的估计
这类题最早的出处应该是1973年的IMO(国际数学奥林匹克)第3题:
3. 设 $a, b$ 是可使方程 \[ x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+a x+1=0 \] 至少有一实根的实数, 对于所有这样的数偶 $(a, b)$, 求 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值.
当年作为国际比赛的压轴题,而今已经沦为而今竞赛教材的经典问题,一般放在一试里.
显然$x \ne 0$,则可变形为$(x^2+\frac{1}{x^2})+a(x+\frac{1}{x})+b=0$,令$u=x+\frac{1}{x}$则有 \[ u^2-2+au+b=0,u^2 \ge 4 \] 由柯西不等式 \[ (u^2-2)^2=(au+b)^2 \le (a^2+b^2)(u^2+1) \]
从而 \[ a^2+b^2 \ge (u^2+1)+\frac{9}{u^2+1}-6 \ge \frac{4}{5} \] 且$a=\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$时方程有根$x=-1$,故可以取到等号.
本题作为这类题的题源,经过各种变迁,如果将其中一些函数换为指数等特殊函数,则可以与导数联系起来,在各地模拟题或者网上自编题中已经出现了一些.凡是学过竞赛的同学都有入手的方向,但是直接进入高考试卷仍然是十分激进的.
对于本题的解答:
这个根$x$肯定是正的,由柯西不等式以及$\sin x<x,x>0$ \[ \me^x=a\sin x+b\sqrt{x} \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2 x+x} < \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+x} \] 若$0<x\le 1$,使用不等式$\me^x \ge \me x$ \[ a^2+b^2>\frac{\me^{2x}}{x^2+x} \ge \frac{\me \cdot 2x}{x^2+x}=\me \cdot \frac{2}{x+1} \ge \me \] 若$x>1$,再次使用不等式$\me^x \ge \me x$,以及$\frac{x}{x+1}>\frac{1}{2}$ \[ a^2+b^2>\frac{\me^{2x}}{x^2+x} \ge \frac{(\me x)^2}{x^2+x}=\me^2 \frac{x}{x+1}>\frac{\me^2}{2}>\me \]
这样就证明了原题.
