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求最大的常数 $M$, 使得对任意一个满足如下条 件的无穷实数列 $\left\{a_n\right\}, n=0,1,2, \ldots$, 以及任 意 $n \geq 0$, 均有 $\frac{a_{n+1}}{a_n}>M$ :
(1)$a_0=1, a_1=3$;
(2)$a_0+a_1+\ldots+a_{n-1} \geq 3 a_n-a_{n+1}$.
解:取$a_n=(n+2)2^{n-1}$,则满足全部条件.
此时,$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(n+3)}{n+2}>M$恒成立.
取$n \to +\infty,M \le 2$
下面证明$M=2$是复合题意的:
令$S_n=a_0+a_1+a_2+\dots+a_n$,则原式化为\[ S_{n-1} \ge 3(S_n-S_{n-1})-(S_{n+1}-S_n) \]
可得\[ S_{n+1}-2S_n \ge 2(S_n-2S_{n-1}) \]
于是有\[ S_{n}-2S_{n-1} \ge 2^{n-1}(S_1-2S_0)=2^n \]
容易得到$S_n$递增,$a_n>0$,且\[ a_{n+1}-2a_n \ge a_n-(a_0+a_1+\dots+a_{n-1})=S_n-2S_{n-1}>0 \]
即\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}>2 \]
综上,$M$的最大值是2
