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12. 设不全相等的三个复数 $z_1, z_2, z_3$ 满足方程 $4 z_1^2+5 z_2^2+5 z_3^2=4 z_1 z_2+6 z_2 z_3+4 z_3 z_1$. 记复平面 上以 $z_1, z_2, z_3$ 为顶点的三角形三边的长从小到大依次为 $a, b, c$, 则 $a: b: c=\tk$
解:作为填空本题非常简单,只需令$z_3=0$,立即可得\[ 4z_1^2+5z_2^2-4z_1 z_2=0 \]
显然\[ (2z_1-z_2)^2+z_2^2=0,2z_1-z_2=\pm 2\mi z_2 \]
取$z_1=1\pm 2\mi,z_2=2$,结合$z_3=0$,可得三边依次为$2,\sqrt{5},\sqrt{5}$
如果采用严格的证明方式做也不复杂.
由于要求的是边之间的关系,这就意味着中间会反复出现$z_1-z_2,z_2-z_3,z_3-z_1$这种东西
稍微观察会发现原式可以化为\[ 2(z_1-z_2)^2+3(z_2-z_3)^2+2(z_3-z_1)^2=0 \]
使用$z_1$作为起点整理\[ 2(z_2-z_1)^2+3[(z_2-z_1)-(z_3-z_1)]^2+2(z_3-z_1)^2=0 \]
即\[ 5(z_2-z_1)^2-6(z_2-z_1)(z_3-z_1)+5(z_3-z_1)^2=0 \]
也就是说$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$是方程$5x^2-6x+5=0$的根\[ x=\frac{6 \pm 8\mi}{10}=\frac{3 \pm 4\mi}{5} \]
取$z_3-z_1=3 \pm 4\mi,z_2-z_1=5$,则$z_3-z_2=-2\pm 4\mi$
可得三边之比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{5}$
本题为本次预赛压轴填空,主要考察的是复数的几何意义.
