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对于每个正整数 $n \geq 3$ ，定义 $A_n$ 和 $B_n$ 如下: $A_n=\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+3}+$ $\cdots+\sqrt{n^2+2 n-1}$,$B_n=\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+4}+\cdots+\sqrt{n^2+2 n}$.
求所有满足 $\left\lfloor A_n\right\rfloor=\left\lfloor B_n\right\rfloor$ 的正整数 $n \geq 3$ .注 : 对于任何实数 $x $,$\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数.
这题真配不上P6,这里考虑把对一个大数的估计变成对小数的估计
\[ \sqrt{n^2+k}-n=\frac{k}{\sqrt{n^2+k}+n} \in (\frac{k}{2n+1},\frac{k}{2n}) \]
于是对$k=1,3,5,\dots,2n-1$累加,可得 \[ \frac{n^2}{2n+1}<A_n-n^2<\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2} \]
对$k=2,4,6,\dots,2n$累加,可得 \[ \frac{n(n+1)}{2n+1}<B_n-n^2<\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2} \] 于是当$n$为偶数时, \[ A_n-n^2<\frac{n}{2}<\frac{n(n+1)}{2n+1}<B_n-n^2 \]
那么$\lfloor A_n \rfloor<\lfloor B_n \rfloor$,不合题意
当$n$为奇数时, \[ \frac{n-1}{2}< \frac{n^2}{2n+1}<A_n-n^2 <B_n-n^2<\frac{n+1}{2} \]
可得 \[ \lfloor A_n \rfloor = \lfloor B_n \rfloor=n^2+ \frac{n-1}{2} \]
于是当且仅当$n$为不小于3的奇数时符合题意.
