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Given is a real number $a \in (0,1)$ and positive reals $x_0, x_1, \ldots, x_n$ such that $\sum x_i=n+a$ and $\sum \frac{1}{x_i}=n+\frac{1}{a}$. Find the minimal value of $\sum x_i^2$.
给定实数$a \in (0,1)$,正实数$x_0,x_1,\dots,x_n$满足: \[ \sum_{i=0}^n x_i=n+a,\sum_{i=0}^n \frac{1}{x_i}=n+\frac{1}{a} \] 求$\sum_{i=0}^n x_i^2$的最小值
类似的问题有不少,大多都是先求单个变量的范围,再构造局部不等式.
当然,本题稍微观察一下会发现$(1,1,\dots,1,a)$是一组简洁的解. \[ (n+a-x_0)(n+\frac{1}{a}-\frac{1}{x_0})=(x_1+x_2+\dots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots x_n) \ge n^2 \]
那么这个方程解出来的解必有一端是$a$,再配凑出另外一个根,可以解出来 \[ a \le x_0 \le \frac{n+a}{1+na} \] 当然这也是其他$x_i$的范围
接下来就是配凑局部不等式,待求式是$x_i^2$,已知式是$x_i,\frac{1}{x_i}$
所以我们需要配凑出下面的式子 \[ x_i^2 \ge A x_i +\frac{B}{x_i}+C \]
它实质是个三次的局部不等式.考虑之前观察出的简洁的解$(1,1,\dots,1,a)$,我们有理由猜测这就是取等条件(如果不是就再说)
考虑$1$在区间中间,所以必须是$(x-1)^2$,所以选择的局部不等式就是 \[ 0 \le \frac{1}{x_i}(x_i-1)^2 (x_i-a) =x_i^2-(2+a)x_i+(2a+1)-\frac{a}{x_i} \]
累加得 \[ \sum_{i=0}^n x_i^2 \ge (2+a)\sum_{i=0}^n x_i +a \sum_{i=0}^n \frac{1}{x_i} -(2a+1)(n+1)= n+a^2 \]
当$(1,1,\dots,1,a)$时取等
虽然题目没要求,但是也可以使用类似的方法求出最大值: 考虑局部不等式 \[ \frac{1}{x_i} \left( x_i-\frac{a(n+a)}{1+na} \right)^2 \left( x_i-\frac{n+a}{1+na}\right) \le 0 \]
可得 \[ x_i^2 \le \frac{(1+2a) (n+a)}{1+na}x_i+\frac{a^2 (n+a)^3}{(1+na)^3} \frac{1}{x_i}-\frac{a (2+a) (n+a)^2}{(1+na)^2} \]
累加得 \begin{align} \sum_{i=0}^n x_i^2 &\le \frac{(1+2a) (n+a)}{1+na} (n+a)\\ &+\frac{a^2 (n+a)^3}{(1+na)^3} (n+\frac{1}{a})\\ &-\frac{a (2+a) (n+a)^2}{(1+na)^2}(n+1)\\ & =\frac{(n+a)^2 (1+na^2)}{(1+na)^2} \end{align} 当取$n$个$\frac{a(n+a)}{1+na}$,1个$\frac{n+a}{1+na}$时取等
