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设 $a,b,c$ 为实数. 已知当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时,恒有 $\left| {a{x}^{2} + {bx} + c}\right| \leq 1$ ,则 $2\left| a\right| + \left| b\right| + 3\left| c\right|$ 的最大值为 $\tk$ .
本题属于多重最值里的技巧.
对于这类二次函数型问题(在某个区间上,二次函数的绝对值不超过xx),我们通常并不使用二次函数的系数,而是选取区间端点和中点的值来刻画(显然知道这三个值也就知道了三个系数)
考虑$f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c$可得
\begin{aligned}
a & =\frac{1}{2}[(a+b+c)+(a-b+c)]-c=\frac{1}{2}[f(1)+f(-1)]-f(0) \\
b & =\frac{1}{2}[(a+b+c)-(a-b+c)]=\frac{1}{2}[f(1)-f(-1)] \\
c & =f(0)
\end{aligned}
可知
\begin{aligned}
2|a|+|b|+3|c| & =2\left|\frac{1}{2}[f(1)+f(-1)]-f(0)\right|+\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|+3|f(0)| \\
& = |f(1)+f(-1)-f(0)|+\frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|+3|f(0)|\\
& = \max { |f(1)+f(-1)-2f(0) \pm \frac{1}{2}(f(1)-f(1)) \pm 3f(0) |}\\
& \le \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+5=7
\end{aligned}
最后一步把四种可能都写出来,每一种都可以放缩成系数的绝对值之和.最大为7.
当$a=2,b=0,c=-1$可以取到等号.
