三个不同的数字(不含0)可以组成6个不同的三位数,如果其中五个的和是3231,求最后一个数.
设最后一个数是$\overline{abc}$,那么三个数字就分别是$a,b,c$
它们组成的六个三位数加起来是$222(a+b+c)$,(因为每个数字都可能在每一位上出现两次)
所以题目等价于$222(a+b+c)-\overline{abc}=3231$
那么我们只需要求$a+b+c$就行了,稍微估计一下$3231<222(a+b+c),a+b+c \ge 15$
这里需要一个小知识:十进制下,自然数和它的各位数字之和模9同余
两边模9可得,$222(a+b+c)-(a+b+c) \equiv 3231 \equiv 0 \pmod 9$
即$9 \mid 221(a+b+c),9 \mid (a+b+c)$,结合$15 \le a+b+c <27$可得$a+b+c=18$
所以$\overline{abc}=222 \times 18-3231=765$
经过验证确实满足题意
本题将3231改为别的数也是可解的,只是从直接得到$9 \mid (a+b+c)$变成得到$a+b+c$模9的值,只要估计一下范围还是可以解出$a+b+c$的
