如果有理数 $m$ 可以表示为 $3 x^{2}-8 x y+6 y^{2}$($x$ 、 $y$ 是有理数) 的形式, 则称 $m$ 为“好数”，试问：两个好数的积和商都是好数吗? 为什么?

需知道一个应用广泛的恒等式:\[    (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2\] 

注意到$3x^2-8xy+6y^2=2(x-y)^2+(x-2y)^2$,显然$m$是好数等价于具有$x^2+2y^2(x,y \in \mq)$的形式
任取两个不同的好数$m_1=x_1+2y_1^2,m_2=x_2+2y_2^2$
则\[    m_1 m_2=(x_1^2+2y_1^2)(x_2^2+2y_2^2)=(x_1 x_2+2y_1 y_2)^2+2(x_1y_2-x_2y_1)^2\]
显然$m_1m_2$是好数
若$m_2 \ne 0$,则\[    \frac{m_1}{m_2}=\frac{m_1 m_2}{m_2^2}=(\frac{x_1 x_2+2y_1 y_2}{m_2})^2+2(\frac{x_1y_2-x_2y_1}{m_2})^2\]
显然$\ds \frac{m_1}{m_2}$是好数

已知平面上有四个不同的点$A,B,C,D$,则集合$M=\{ \vv{PQ} \cdot \vv{RS} \mid \{P,Q,R,S\}=\{A,B,C,D\} \}$的元素个数不可能是$\tk$

(A).1
(B).2
(C).3
(D).6

解析:不太常规的问题.由于变量多,那就需要考虑一些更加本质的问题.

如果$t \in M$,可以得到什么?
可以确定$-t \in M$,因为我们只需保持$P,Q$不变,交换$R,S$就能使得这个内积反号.
因此,非0实数必定在$M$中成对出现.如果$0 \in M$,那么$M$就有奇数个元素;如果$0 \notin M$,那么$M$就有偶数个元素.

那么如果取$A$,就意味着$M$中只有0,也就是任何一个取法的向量都是互相垂直的.这个很容易判断,一个三角形的三个顶点和它的垂心就行了.

如果取$B$,那么就意味着$M$中只有两个不同的元素$t,-t(t \ne 0)$.这里需要一点额外的知识,或者知道托勒密定理的复数证法,或者直接知道这样一个简单的恒等式:\[(a-b)(c-d)+(a-c)(d-b)+(a-d)(b-c)=0\]
用向量去替换它,如($\vv{OA}$替换$a$)可得\[\vv{BA} \cdot \vv{DC}+\vv{CA}\cdot \vv{BD}+\vv{DA} \cdot \vv{CB}=0\]
而如果$M=\{t,-t\}$,则会发现,无论三者如何取值,都只能导致$t=0$,从而矛盾.所以$2$是取不到的

$C$.取3是可能的,这意味着$M=\{0,t,-t\}$.取等腰直角三角形的三个顶点和斜边中点即可.

$D$.取6也是可能的,这是最普通的情况.就是6种内积互不相同(分为3组,每组考虑反向有2种可能)

注:根据$B,D$的分析可知,$M$的结构必定是$\{a,b,a+b,-a,-b,-(a+b)\}$这种,但是随着有些值相等,集合元素会减少.
6个元素互不相等如($a=1,b=3$)则是6;
$a=b \ne 0$时,可以取4;
$a=0,b \ne 0$会得到3;
$a=b=0$,会得到1;
除2此以外,5也是取不到的.因为奇数意味着必定含0.根据$B$中的恒等式,必定有另外两组内积互为相反数取$t,-t$,进而交换位置导致产生2组$t$,2组$-t$.只能是1或者3,产生矛盾.